Méthode des moindres carrés

Cette activité a pour objectif de découvrir la droite d'ajustement du nuage de points d'une série statistiques à deux variables. 

Partie A : détermination graphique de la droite d'ajustement 

Dans le graphique ci-dessous :

• les points \(\text{A}\), \(\text{B}\), \(\text{C}\), \(\text{D}\), \(\text{E}\) et \(\text{F}\) constituent le nuage de points d'une série statistique à deux variables ;
  
• la droite tracée a pour équation \(y=ax+b\), les valeurs des nombres \(a\) et \(b\) sont choisies avec les curseurs rouges ;
  
•  \(\text{A}^\prime\), \(\text{B}^\prime\), \(\text{C}^\prime\), \(\text{D}^\prime\), \(\text{E}^\prime\) et \(\text{F}^\prime\) sont les points de la droite d’abscisses respectivement égales à celles de \(\text{A}\), \(\text{B}\), \(\text{C}\), \(\text{D}\), \(\text{E}\) et \(\text{F}\) ;
• le nombre \(\sum\) donne la valeur de la somme  \((\text{A}\text{A}')^2 + (\text{B}\text{B}')^2 +(\text{C}\text{C}')^2 + (\text{D}\text{D}')^2 + (\text{E}\text{E}')^2 + (\text{F}\text{F}')^2\).
  

1. Recopier le tableau ci-dessous et le compléter en faisant varier les valeurs des nombres \(a\) et \(b\) à l'aide des curseurs (manipulation avec la souris, puis avec les flèches du clavier pour plus de précision).

\(\begin{align*} \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline a &-1{,}2&-1{,}1&-1{,}0&-0{,}9&-0{,}8&-0{,}7&-0{,}6&-0{,}5&-0{,}4&-0{,}3\\ \hline b &3&4&4{,}9&5{,}0&5{,}1&5{,}2&5{,}3&5{,}4&5{,}5&5{,}6\\ \hline \sum&&&&&&&&&\\ \hline \end{array}\end{align*}\)

2. À l'aide de la question précédente, donner l'équation d'une droite qui passe « au plus près » des points de ce nuage.

Partie B : formalisation

On considère un nuage de points constitués de \(n\) points notés \(\text{A}_1\), \(\text{A}_2\), \(\text{A}_3\), ... , \(\text{A}_n\) dans un repère orthogonal. On note \((x_i~;y_i)\) les coordonnées des points \(\text{A}_i\), pour \(i\) allant de \(1\) à \(n\).
Soit `a` et `b` deux nombres réels et la \((d)\) la droite d'équation \(y=ax+b\).
Les points \(\text{M}_1\), \(\text{M}_2\), \(\text{M}_3\), ... , \(\text{M}_n\) de la droite \((d)\) sont de même abscisses que, respectivement, les points \(\text{A}_1\), \(\text{A}_2\), \(\text{A}_3\), ... , \(\text{A}_n\) comme illustré dans la figure ci-dessous.

1. Justifier que \((\text{A}_1\text{M}_1)^2 = (y_1-(ax_1+b))^2\).
2. Que peut-on dire de la position du point \(\text{M}_1\) suivant la valeur de \((y_1-(ax_1+b))^2\) ?
3. Donner l'interprétation géométrique du nombre :\(\sum =(y_1-(ax_1+b))^2 + (y_2-(ax_2+b))^2 + ... + (y_n-(ax_n+b))^2\).
4. La droite d'ajustement par la méthode des moindres carrés est celle qui passe « au plus près » des points du nuage. Établir une condition sur \(\Sigma\) traduisant la droite d'ajustement.